数学嫌いは「確率」で差をつけろ!確率問題のあれこれ Part1
どうも!しらすです!
今回は、数学記事!
題名にあるとおり、確率問題について書きたいと思います!
僕が受験生の頃は、確率の問題を得点源としていました。
確率という分野は、関数とか微分積分とかよりもイメージしやすく、取っ組みやすい分野ではあると思います。
ただ、現状はそう甘くなく、「実際に演習してみるとなんだこれ状態になっちゃう...」なんてことも有り得ます。
そこで、確率問題の基礎的な解き方を何回かに分けて紹介します!
このシリーズを押さえておけば、8割以上の確率の問題が解けるようになると思っています!
何故、確率は取りやすいのか
まず、確率がとりやすいと言う理由をお教えしましょう。
1.覚える公式が少なく、比較的直観的である!
ほかの分野に比べて覚えるべき公式が少ないのが魅力です!
三角比や二次関数、微積やベクトルは直観的に理解しづらいところがあるのですが、確率はこれからの説明を見ればわかりますが、少し数学っぽくない節があり、とっつきやすいんです!
問題のパターンや解き方もそこまで多くないし、問題文をしっかり読めば解ける、というのも利点の一つです。
2.いざとなれば、数えれば解ける!
問題をパッと見て解き方が思い浮かばなければ、最終手段として「全部数えれば解ける」という利点があります。
なので、解き方も比較的容易で、最終手段もある、といういいことづくめなわけです。
確率の超基本を押さえよう!
ということでまずは、確率の超基本(知ってることも多いかと思いますが)を定義から押さえましょう!
確率の基本用語
・事象→数学の試行のなかで起こる事柄。(サイコロで言うと、1から6までのどれかが出るという事象が起こる)
・場合の数→ある事象が起こるパターンの数。
・n!=n*(n-1)*(n-2)*...3*2*1 (!は「階乗」と読み、例えば5!=5*4*3*2*1=120となる)
・順列→順番のあるものの並び。例えば、123と321は、別のもの、つまり2つの事象として扱う。
・組み合わせ→順番のないものの並び。例えば123と321は同じもの、つまり1つの事象として扱う。
確率の基本的な考え方
続いて、確率の基本を2つお話ししますが、だいたいこれで解けます!
まず、(確率)=(求める事象が起こる場合の数)/(すべての事象が起こる数)
要するに、
(部分)/(全体)です!
これだけ押さえておけば大丈夫なんです!
では、何故実践ではできなくなっちゃうのでしょう?
それは、数えるのが難しいことが多いからです!
とにかく、(部分)/(全体)だけでも押さえましょう!
2つ目は、二つ以上の事象が起こる確率です。
事象Aが起こる、かつ、事象Bが起こる確率は、「かつ」なので掛け算。
事象Aが起こる、または、事象Bが起こる確率は、「または」なので足し算。
これも重要です!
nPrとnCrについて
次は、その場合の数を数えるのに有効な、nPrとnCrについて話します!
2つの使い分けとその差
まずは、定義から!
・nPr = n! / (n-r)! = n * (n-1) * ... * (r+1) * r
・nCr = n! / r! * (n-r)! = nPr / r!
例えば、5P3 = 5 * 4 * 3 = 60、
5C3 = (5 * 4 * 3) / (3 * 2 * 1) =10、です!
nPrは、n個のものからr個のものをとって順列を数えるときに使います。
nCrは、n個のものからr個のものをとって組み合わせを数えるときに使います。
なぜ、nCrで組み合わせが求まるのか?
nPr が組み合わせを表すのはなんとなくわかると思います。
でも、何故nCrで組み合わせを表せるのでしょうか。
両方解説します!
例えば、1~5の数字が書かれたカードが1枚ずつあって、そこから1枚ずつ、合計3枚引いたカードを並べて3桁の整数を作ることを考えます。(これは、123と321が別と考える、つまり順列です)
下の写真をご覧下さい。
1個目の数字は、1~5の5個の中から選ぶので選択肢は5通りあります。
2個目の数字は、1~5のうち1回目に引いた1枚を除いた4通りの選択肢があります。
同様に3個目の数字は、1~5のうち1回目と2回目に引いた2枚を除いた3通りの選択肢があります。
これを3回目側から見ると、3回目には3通りの選択肢があり、その3通りが2回目に引かれる数の分(4通り)存在し、更にそれが1回目の選択肢分(5通り)存在するので、順列は
3*4*5=5P3
となる訳です。
では、何故5C3で組み合わせが求まるのでしょうか?
定義を遡ると、5C3=5P3 / 3! で求まります。5P3は説明したので、それを3!で割る理由を説明しましょう!
選んだ3つの数字は、組み合わせだと1つとして数えます。
それが5P3個分存在するので、順列の個数分を、3つの数字の順列分、すなわち3P3=3!で割らなきゃいけないのです!
...分からなかったら、覚えちゃってもよいです。
実際の問題に触れてみよう!
確率は(部分)/(全体)であり、順列はnPr、組み合わせはnCr、を意識して、実際の問題を解いてみましょう!
例題 袋の中に白玉3個、赤玉4個がはいっている。ここから玉を5個同時に取り出すとき、(1)白玉2個、赤玉3個出る(2)同じ色の玉が2個出る確率をそれぞれ求めよ。
まずは、(確率)=(部分)/(全体)なので、(全体)を求めましょう!
(全体)は、7個の中から5個を取り出す「組み合わせ」なので、
7C5=21(通り)
(1)(部分)は、白玉を2個取り出し、「かつ」、赤玉を3個取り出す「組み合わせ」なので、
3C2 * 4C3 = 3*4 =12(通り)
よって、求める確率は、
(部分)/(全体)=12 / 21= 4 / 7
(2)同じ玉が2個出るということは、
A:白玉が2個出る
「または」
B:赤玉が2個出る
ことなので、事象Aが起こる確率と、事象Bが起こる確率の和をとればよいです。
Aは、(1)より4 / 7。
Bは、(全体)は同じで、(部分)は「白玉3個、赤玉2個取り出す組み合わせ」なので、
3C3 * 4C2 =1*6 = 6
よって、事象Bが起こる確率は、
(部分)/(全体)=6 / 21= 2 / 7
したがって、求める確率は
(事象Aが起こる確率)+(事象Bが起こる確率)=4/7 + 2/7 = 6/7
となります。
この問題は、簡単に出来る方です。実際はより複雑な問題になってくるので、それは次回取り扱います。
まとめ
よく、「数学は短期間では成果が出づらい教科だ」と言われますし、それは僕もそうだと思います。
しかし、その中で「確率」という分野は、短期間で成果がでやすいと思います。(2週間くらい頑張れば結構な点数UPが期待できます)
今回教えたことで、全ての問題が解けるようになったとは言い切れませんが、実は条件付き確率などの原理は説明できます!(詳細はPart2で!)
今回やったことをまとめましょう。
- 確率は(部分)/(全体)!
- 「かつ」は掛け算、「または」は足し算
- nPrは順列、nCrは組み合わせ
これが確率の超基本です!これさえ押さえとけば、そこそこの入試問題は解けます。
ただ、最初のうちは、これを丁寧に意識して慣れることが重要なので、時間は意識せずに、慣れてから時間を意識した演習をしましょう。
Part2では、原理的には殆ど解ける今の状態を、パターン化して短時間で解ける「引き出し」を増やしましょう!
それまで!